Koldioxidmolekylens förmåga att ta upp värmestrålning avgörs av dess egenfrekvenser, benämns ibland egenvinkelfrekvens eller egenvinkelhastighet, eftersom egenvinkelhastighet är 2 pi multiplicerat med egenfrekvensen. Antalet egenfrekvenser för en molekyl avgörs i sin tur av molekylens frihetsgrader (antal möjligheter för atomerna i molekylen att röra sig ”fritt”). En molekyl har alltid 3N oberoende frihetsgrader, där trean kommer från tre dimensioner och N är antalet atomer i molekylen. För att få fram antaler beroende frihetsgrader kan kortfattas uttryckas att de frihetsgrader där molekylens masscentrum inte rör sig (som vid rotation), subtraheras från de oberoende frihetsgraderna. För koldioxid molekylen innenär detta att antalet beroende frihetsgrader blir 3N-5 och eftersom koldioxidmolekylen har N=3 blir antalet beroende frihetsgrader fyra (4). Klodioxidmolekylen kan därav svänga med fyra olika egenfrekvenser, varav en egenfrekvens hamnar inom det så kallade IR-fönstret. Värmestrålning från jorden sker inom ett brett frekvens- eller våglängdsspektrum (IR-strålning från 0,7 till 1000 mikrometer), men atmosfären har ett smalt IR-fönster ( IR-strålning från 8 till 14 mikrometer) som släpper igenom värmestrålning.

Om egenfrekvenserna för koldioxidmolekyler i en viss svängningsmode sammanfaller med våglängder eller frekvenser inom IR-fönstret i atmosfären, passerar värmestrålning rakt dessa koldioxidmolekyler. Om egenfrekvenserna inte sammanfaller med våglängder eller frekvenser inom IR-fönstret i atmosfären, absorberar koldioxidmolekylen värmestrålning. Tre specifika svängningsmode för koldioxidmolekylen tar upp värmestrålning medan en svängningsmode inte gör det. Jämför med syre- och kvävemolekylerna som bara har en svängningsmode var, vilket befinner sig inom IR-fönstret och inte tar upp någon värmestrålning.

Om egenfrekvenserna för koldioxidmolekyler i en viss svängningsmode sammanfaller med våglängder eller frekvenser inom IR-fönstret i atmosfären, passerar värmestrålning rakt dessa koldioxidmolekyler. Om egenfrekvenserna inte sammanfaller med våglängder eller frekvenser inom IR-fönstret i atmosfären, absorberar koldioxidmolekylen värmestrålning.

Universitetsstudenter kan beräkna (och högpresterande gymnasieelever kan få en inblick i) egenfrekvenser eller egenvinkelhastigheter en koldioxidmolekyl i olika svängningsmode, samt även vilket vågtal och vilken energi som förknippas med svängningsmoden.

En enkel mekanisk modell av en koldioxidmolekyl kan med gymnasiefysik beskrivas enligt

E=\frac{1}{2}mv^2 \ \ \leftrightarrow \ Kinetisk energi för atomerna.

U=\frac{1}{2}mx^2\ \ \leftrightarrow \ Potentiell energi i fjäder.

Inom universitetsfysik används med fördel Langrangianen L och Euler-Langrange ekvationer för beräkningarna. Lagrangianen definieras som,

L=T-V ,

där T = E (kinetiska energin) och V = U (potentiell energi) samt eftersom rörelseekvationer blir differentialekvationer används beteckningarna:

Sträcka s=x , hastighet v=\dot{x} , samt a=\ddot{x} , vilket ger

T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2 \ \ \leftrightarrow \ Kinetisk energi för atomerna.

V=\frac{1}{2}mx^2 \ \ \leftrightarrow \ Potentiell energi i fjäder.

Ur den enkla koldioxidmodellen med rörelse endast i x-led kan de två energierna beskrivas som

T=\frac{1}{2}m\left({\dot{x}}_1+{\dot{x}}_3\right)^2+\frac{1}{2}M{\dot{x}}_2^2 V=\frac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2+\frac{1}{2}k\left(x_3-x_2\right)^2 \ Potentiell energi i fjäder.

Lagrangianen L=T-V blir härmed

L=\frac{1}{2}m\left({\dot{x}}_1+{\dot{x}}_3\right)^2+\frac{1}{2}M{\dot{x}}_2^2-\frac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2-\frac{1}{2}k\left(x_3-x_2\right)^2

Fördelen med att räkna med Lagranianen är att Euler-Lagranges ekvationer kan användas för att ta fram rörelseekvationer för atomerna i koldioxidmolekylen. Euler-Lagrange ekvation är:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0

De partiella derivatorna räknas fram ur Lagrangianen till:

\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_1}=m{\dot{x}}_1 \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_1}\right)=m{\ddot{x}}_1 \ \ \ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial x_1}=k\left(x_2-x_1\right) \frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_2}=M{\dot{x}}_2 \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_2}\right)=M{\ddot{x}}_2 \ \ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial x_2}=-k\left(x_2-x_1\right)+k\left(x_3-x_2\right)=-k\left({-x}_1+2x_2-x_3\right) \frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_3}=m{\dot{x}}_3 \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}_3}\right)=m{\ddot{x}}_3 \ \ \ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial x_3}=-k\left(x_2-x_3\right)

Partiella derivatorna insatta Euler-Lagrange ekvationerna ger följande tre rörelseekvationer:

x_1:\ \ \ \ m{\ddot{x}}_1-k\left(x_2-x_1\right)=0 ,

x_2:\ \ \ \ M{\ddot{x}}_2-k\left(x_1-2x_2+x_3\right)=0 ,

x_3:\ \ \ \ m{\ddot{x}}_3-k\left(x_2-x_3\right)=0\

Detta är tre andra ordningens differentialekvationer som har harmoniska lösningar på formen x=Ae^{i\omega t} . Därav kan ansättas för rörelseekvationerna x_i=A_ie^{i\omega t},\ \ \ \ \rightarrow\ \ {\ddot{x}}_i={-\omega A}_ie^{i\omega t} , där e^{i\omega t} och genom att dividera båda led med e^{i\omega t} försvinner denna term. De tre rörelseekvationer blir härmed:

x_1:\ \ \ \ {-{m\omega}^2A}_1-k\left(A_2-A_1\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\ \ (k\ {-{m\omega}^2)A}_1-kA_2=0 ,

x_2:\ \ \ \ {-{M\omega}^2A}_2-k\left(A_1-2A_2+A_3\right)=0\ \ \ \ \rightarrow\ \ -kA_1+(2k{-{M\omega}^2)A}_2-kA_3=0,

x_3:\ \ \ \ {-{m\omega}^2A}_3-k\left(A_2-A_3\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow\ \ -kA_2+(k-{m\omega}^2)A_3=0 ,

som på matrisform blir

\left(\begin{matrix}k-{m\omega}^2&-k&0\\-k&2k-{M\omega}^2&-k\\0&-k&k-{m\omega}^2\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}A_1\\A_2\\A_3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right) ,

Icke-triviala lösningar fås när determinanten till systemmatrisen är lika med noll, det vill säga:

\left(k-{m\omega}^2\right)\left(\left(2k-{M\omega}^2\right)\left(k-{m\omega}^2\ \right)-k^2\right)-\ k\left(k\left(k-{m\omega}^2\right)-0\right)=0 ,

\left(k-{m\omega}^2\right)\left(\left(2k-{M\omega}^2\right)\left(k-{m\omega}^2\ \right)-2k^2\right)=0 ,

ger en lösning när k-{m\omega}^2=0\ \ \ \rightarrow

En andra lösning erhålls när,

\left(2k-{M\omega}^2\right)\left(k-{m\omega}^2\ \right)-2k^2=0 \omega^2({mM\omega}^2-kM-2km)=0 ,

ger \omega^2=0 samt,

{mM\omega}^2-k\left(M+2m\right)=0

Egenvinkelhastigheterna \omega_1 och \omega_2 blir numeriskt med

m=15,9994u=2,65676\ast{10}^{-26}\ kg (massa, syreatom)

M=12,011u=1,99447\ast{10}^{-26}\ kg (massa, kolatom)

k=1860\ N/m\ (effektiv fjäderkonstant för bindningen mellan kol och syreatom)

\omega_1=\sqrt{\frac{1860}{2,65676\ast{10}^{-26}}}=6,69193\ast{10}^{13}\ rad/s \omega_2=\sqrt{\frac{1860}{2,65676\ast{10}^{-26}}\left(1+\frac{2\ast2,65676\ast{10}^{-26}}{1,99447\ast{10}^{-26}}\right)}=5,15287\ast{10}^{14}\ rad/s

Från egenfrekvenser till vågtal

Förhållandet mellan vågtal \bar{v} (som ej ska blandas ihop med vågtalet, k ) och egenvinkelfrekvenser är:

\bar{v}=\frac{\omega}{2\pi c} ,

Vilket ger

{\bar{v}}_1=\frac{6,69193\ast{10}^{13}}{2\pi\ast3\ast{10}^8}=33502\ m^{-1}=335\ {cm}^{-1} {\bar{v}}_2=\frac{5,15287\ast{10}^{14}}{2\pi\ast3\ast{10}^8}=273368\ m^{-1}=2734\ {cm}^{-1}

Dessa två vågtalen som erhålls ur den enkla fysikaliska modellen för koldioxid, överensstämmer relativt väl med de vågtal som erhålls via experiment för koldioxidmolekylen.

Hur mycket energi kan koldioxidmolekylen absorbera vid dessa vågtal?

Den energin som en egenvinkelhastighet motsvarar kan beräknas ur Schrödingerekvationen enligt:

E=\frac{h}{2\pi}\omega,

vilket ger för egenvinkelhastigheterna \omega_1 och \omega_2 E_1=\frac{6,626\ast{10}^{-34}}{2\pi}\ast6,69193\ast{10}^{13}=7,057\ast{10}^{-21}\ J E_2=\frac{6,626\ast{10}^{-34}}{2\pi}\ast5,15287\ast{10}^{14}=4,434\ast{10}^{-20}\ J

Beräkna och lös de tre differentialekvationerna i Excel.