Längdkontraktionen inom den speciella relativitetsteorin är ett fenomen som många elever har svårt att förstå och den förklaras ofta med en ekvation som inte ger mycket mer klarhet.

l=l_0\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2},

där  är den relativistiska hastigheten föremålet färdas i, som oftast brukar anges i procent av ljushastigheten c. Om v är 90 % av ljushastigheten, v = 0,9c, blir längdkontraktionsformeln

l=l_0\sqrt{1-(\frac{0,9c}{c})^2} = l_0\sqrt{1-0,9^2}

Exempel

Om ett framtida rymdskepp färdas i v = 0,9c från jorden till stjärnan Sirius som ligger 8,6 ljusår bort, vilket avstånd behöver rymdskeppet färdas till Sirius på grund av längdkontraktionen? Hur lång tid tar resan enligt en klocka i rymdskeppet respektive en klocka på jorden?

Lösning

Kring speciella relativitetsteorin uppvisar eleverna ofta en osäkerhet kring vilken längd eller vilket avstånd som ska ha index noll, dock lite beroende på vilken formelsamling som används. Vid längdkontraktionen är det något enklare än vid tidsdilationen eftersom kontraktion betyder sammandragning, vilket innebär att sträckan ska bli kortare för rymdskeppet.

l_0=8,6 ljusår ger en kortare sträcka enligt

l=l_0\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=8,6\sqrt{1-(\frac{0,9c}{c})^2} = 8,6\sqrt{1-0,9^2}=3,75 ljusår

Inom gymnasiefysik är l_0 det avstånd som mäts upp från jorden (enligt jordens referenssystem eller inertialsystem). l_0 beskrivs även som sträcka som uppmäts i vila.

Vid tidsdilationen är det något krångligare att hålla reda på vilken tid som ska ha index noll i

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},

I denna uppgift kan vi dock räkna ut tiden för klockorna i två olika referenssystem, ett på jorden och ett i rörelse, utifrån de två avstånden med hjälp av s=v*t → t=\frac{s}{v} t \ (rymdskepp)=\frac{3,75 ljusår}{0,9c}=\frac{3,75 \ cår}{0,9c}=\frac{3,75}{0,9}=4,17 \ år t \ (jorden)=\frac{8,6 ljusår}{0,9c}=\frac{8,6 \ cår}{0,9c}=\frac{8,6}{0,9}=9,56 \ år

Om formeln för tidsdilationen används gäller att t_0 är egentiden, benämns även proper time och på gymnasiet handlar t_0 oftast om klockan i rörelse medan t är den tiden för en yttre observatör. På universitet till kommer observation av ”varandras klockor” där båda kommer att observera att den andre klocka går saktare, det vill säga t , vilket ger upphov till tvillingparadoxen. Detta innebär även båda kommer att observera en kortare sträcka för den andre, varvid t_0 inte längre begränsas till det avstånd som mäts upp från jorden.

I detta exempel gäller dock, t \ (rymdskepp)=t_0=4,17 \ år → t=\frac{t_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=t=\frac{4,17}{\sqrt{1-0,9^2}} =9,56 år

Grafisk visualisering av längdkontraktionen

Genom att kvadrera båda led i tidsdilationen och längdkontraktionen erhålls

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\ \ \ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \ \ \ t^2\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)=t_0^2\ \ \rightarrow\ \ \ t^2-\left(\frac{v}{c}t\right)^2=t_0^2 l=l_0\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\ }\ \rightarrow\ \ \ l^2=l_0^2\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)\ \ \ \rightarrow\ \ l_0^2-\left(\frac{v}{c}l_0\right)^2=l^2

Eftersom termen \frac{v}{c} beskriver en andel av ljushastigheten vilket innebär att termen kan definieras som

\frac{v}{c}=v_{rel}

Tidsdilationen kan härmed skrivas om enligt

t^2-\left(v_{rel}t\right)^2=t_0^2

Utifrån s=vt känner vi igen v_{rel}t som en sträcka, och eftersom v_{rel} beskriver en andel av ljushastigheten blir sträckan i form av ljusår eller ljussekunder, beroende på vilken enhet som t anges i.

Om x=v_{rel}t kan tidsdilationen skrivas som

t^2-x^2=t_0^2

vilket är ekvationen för en hyperbel.

Med t_0=4,17 år blir hyperbeln, t^2-x^2={4,17}^2 vilken har utseendet:

På liknande sätt, om än lite krångligare, går hyperbeln för längdkontraktionen tas fram till  

x_0^2-t^2=x^2 , vilken har utseendet:

Vi kan alltså observera en hyperbolisk ”krökning” av både tiden och sträckan.

Den allmänna relativitetsteorin kan kortfattat beskrivas som att förekomsten av massa kröker rumtiden, samtidigt som rumtidens krökning bestämmer hur kroppar med massa kan röra sig genom rumtiden. Rumtidens krökning brukar visualiseras som ett klot som sjunker ner i en tvådimensionell rumtidsduk.

Men rumtiden är 4-dimensionell varvid en mer verklighetsnära visualisering är ett klot som befinner sig i ett 3-dimensionellt rumtidsnät, vilket kröks hyperboliskt i alla tre dimensionerna.

Den speciella relativitetsteorin handlar en liknande krökning av rumtiden, men bara i en längdsdimension samt tidsdimensionen. Vi har härlett att både längdkontraktionen och tidsdilationen går skriva som hyperbler, varvid även den speciella relativitetsteorin kan visualiseras som en hyperbolisk krökning av en av tre rumsdimensioner.

För en yttre observatör kommer även rymdskeppet att observeras avkortat i färdriktningen.

Resa med relativistiska hastigheter till en stjärna 10 ljusår bort

Om än relativistiska hastigheter är mätbara för låga hastigheter som exempelvis GPS-satelliter färdas i (v = 0,000013c), börjar inte den hyperboliska krökningen bli observerbar förrän vid v = 0,1c.