När nyheter om NASA projekt framkommer i massmedia kan dessa upplevas som just ”rocket science” som ligger på hög universitetsnivå. Svårigheten vid satelliten DART’s kollision med asteroidmånen Dimorphos ligger att åstadkomma själva kollisionen (att träffa målet) och inte att beräkna förändringen i omloppstiden för månen. Att träffa målet 11 miljoner km från jorden är jämförbart med att ligga på skidskyttevallen i Östersund och istället för att träffa det vanliga målet, en prick på en tavla 50 m bort, ska en prick träffas på en tavla på skidskyttevallen i Salt Lake City, USA. Och inte bara det utan hänsyn måste också ta till faktorer som stör banan mellan avfyring och mål, som i DART’s fall handlar om två andra asteroider där deras gravitation kommer att påverka satellitbanan.

När väl träffen sker kan gymnasieelever räkna på vad som kommer att hända, samt gå hem till föräldrar och berätta samt visa att de utfört ”NASA beräkningar” och kommit fram till i princip samma resultat som NASA men inte exakt samma. En vecka senare när förändringen i omloppsbana mäts visar det sig om gymnasieeleverna hade mer rätt än NASA (vilket just blev fallet denna gång), men det beror mer på exakt hur ”träffen” sker än vem som räknat rätt. Men det bryr sig inte gymnasieelever om det minsta, utan de bryr sig mer om att ha ”räknat bättre än NASA”.

Gymnasieuppgift

Asteroiden Didymos och dess måne Dimorphos som går i omloppsbana runt asteroiden, färdas tillsammans genom rymden med hög hastighet. NASA har nu frontalkrockat en sond, DART som färdas i ungefär lika hög men motsatt hastighet, i Dimorphos. Målsättningen är att kollisionen ska kunna bromsa Dimorphos och därigenom påverka asteroidmånens omloppsbana runt asteroiden.  Beräkna för förändringen i omloppstid för Dimorphos utifrån följande data:

m_1=610\ kg \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Massa, satellitsonden DART

v_1=6,257\ast{10}^3\ m/s \ \ \ \ \ \ \ DART’s hastighet vid kollisionsögonblicket

m_2=4,8\ast{10}^9\ kg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Massa, asteroidmånen Dimorphos

v_2=-7\ast{10}^3\ m/s \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Dimorphos hastighet vid kollisionsögonblicket

M=528\ast{10}^9\ kg \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Massa, Didymos

v=0,174\ m/s \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Omloppshastighet, Dimorphos runt Didymos

Lösning

DART förintas vid kollisionen \rightarrow Fullständigt in-elastisk kollision där rörelsemängden bevaras:

m_1v_1+m_2v_2=\left(m_1+m_2\right)v_3\ \ \ \rightarrow\ \ \ \ v_3=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{610\ast6,257\ast{10}^3+4,8\ast{10}^9\ast\left(-7\ast{10}^3\right)+}{4,8\ast{10}^9+610}=-6999,998315\ m/s

Vilket innebär att hastighetskillnaden, som ger upphov till skillnad i omloppsbana, på grund av kollision blir:

∆v=-7\ast{10}^3-\left(-6999,998315\right)=-1,685\ast{10}^{-3}\ m/s

Förändring av omloppsbanan

Didymos och Dimorphos före kollisionen

M=528\ast{10}^9\ kg \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Massa, Didymos

v=0,174\ m/s \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Omloppshastighet

F_{centripetal}=ma_n=\frac{mv^2}{r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F=G\frac{mM}{r^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F_{centripetal}=F ger

\frac{mv^2}{r}=G\frac{mM}{r^2}\ \rightarrow\ r=\frac{GM}{v^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast528\ast{10}^9\ }{\left(0,174\right)^2}=1163,92\ m

Omloppstiden före kollisionen t_f kan beräknas med s=vt eller med Keplers tredje lag

t_f=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\ast1163,92\ }{0,174\ }=42029\ s=11,76\ h t_f=\frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}=\frac{2\pi{(1163,92\ )}^{3/2}}{\sqrt{6,674\ast{10}^{-11}\ast528\ast{10}^9}}=42029\ s

Didymos och Dimorphos efter kollision

r=\frac{GM}{{(v+∆v)}^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast528\ast{10}^9\ }{\left(0,174-1,685\ast{10}^{-3}\right)^2}=1186,79\ m

Omloppstiden före kollisionen t_e blir härmed

t_e=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\ast1186,79\ m}{0,174-1,685\ast{10}^{-3}\ }=43274\ s=12,02\ h t_e=\frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}=\frac{2\pi{(1186,79\ m\ )}^{3/2}}{\sqrt{6,674\ast{10}^{-11}\ast528\ast{10}^9}}=43274\ s

Skillnaden i omloppsbanan före och efter kollisionen blir härmed

∆r=1186,79-1163,92=22,9\ m ∆t=43274-42029=1245\ s=21\ min

Att mäta en skillnad på 23 m i radie för en omloppsbana 11 miljoner km från bort är inte görbart, men en skillnad i omloppstid på 21 minuter är relativt enkelt att mäta. När NASA drygt två veckor efter kollisionen mätte förändändringen visade den sig vara 32 minuter.

Gymnasiefysiken kom alltså riktigt nära den verkliga förändringen, till och med närmare än NASA’s egna beräkningar som förväntade sig en förändring på 18 minuter. Men skillnaden handlar enbart om med vilka massor och hastigheter som beräkningarna sker, samt vad massorna exakt är i verkligheten och de relativa hastigheter som rådde vid kollisionsögonblicket.