En smitta utbreder sig i samhället kommer att ha förloppet och röra sig genom populationen enligt:

Av de personer som är mottagliga för smittan (S) kommer ett visst antal personer att infekteras av smittan (I) , där majoriteten sedan tillfrisknar (R) och uppnår en immunitet, varvid förloppet blir: S\ \ \rightarrow\ \ \ \ I\ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \ R

Detta är Kermacks och McKendricks modell, som även kallas SIR-modellen, där smittspridningen beskrivs och beräknas med hjälp tre sammankopplade differentialekvationer som beror av varandra:

\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{I}{N}S\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

\frac{dI}{dt}=\beta\frac{S}{N}I-\gamma I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \frac{dR}{dt}=\gamma I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)

Ekvation (1) kan förklaras som att

\frac{dS}{dt} är förändringen dS\ (\approx∆S) av antalet mottagliga personer som kan smittas av viruset ( S= Susceptible) per tidsenhet dt\ (\approx∆t). Både antalet personer som kan smittas S och den takt som de smittas \frac{dS}{dt} förändras under smittspridningens gång, där \frac{dS}{dt} är beroende av (är lika med) parametrarna \beta,\ I,\ N och givetvis antalet personer S som är möjliga att smitta från början. För Covid-19 ansågs initialt att barn och ungdomar inte smittades av viruset i någon större omfattning, eller att ungdomar smittades men hade lindriga symptom. Därav tas ungdomar med i denna beräkning, varvid ett startvärde på mottagliga för smittan sätts till S=8\ast{10}^6 (8 miljoner personer).

N är storlek på populationen (Sveriges befolkning) och \beta är hur många personer som smittas per tidsenhet samt \gamma är som nämnts, hur många dagar som en person är smittad av viruset.

Den sista parametern i ekvation (1) är antalet smittade personer I (Infected) som beror av den takt nya personer smittas, vilket beskrivs en ekvation (2). Ekvation (1) är alltså beroende av resultatet av ekvation (2).

Ekvation (2) som beskriver förändringen av antalet smittade per tidsenhet dI/dt, vilket beror av (är lika med) parametrarna β,I,N\ och\ S samt även γ . Första produkten i högra ledet innehåller β (som är hur många personer som smittas per tidsenhet) och andra produkten, som subtraheras från första, innehåller γ*I (vilket är antalet dagar som en person är smittad multiplicerat med antalet smittade personer). Subtraktion av dessa två produkter ger förändringen av antalet smittade per tidsenhet.

Den tredje ekvationen (3) innehåller även den produkten \gamma\ast I (Infected) och ekvationen talar om att denna produkt beskriver förändringen i antalet tillfrisknade dR per tidsenhet dt .

Att alla tre ekvationerna är sammankopplade och beror av varandra är logiskt eftersom antalet infekterade och förändringstakten av infekterade enligt ekvation (2), påverkar hur många nya personer som finns att infektera och takten de kan infekteras, ekvation (1). Samt antalet infekterade personer har ett direkt samband med hur många personer som tillfrisknar (eller avlider) av smittan, där takten på tillfrisknandet i ekvation (3) även beror på hur länge personerna är smittade.

SIR-modellen tar dock i sitt grundutförande inte hänsyn till dödligheten under en pandemi och därav kompletteras modellen med en parameter μ för graden av dödlighet, eftersom dödligheten var högst påtaglig under Covid-19 pandemin.

\frac{dS}{dt}=\mu(N-S)-\beta\frac{I}{N}S\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \frac{dI}{dt}=\beta\frac{S}{N}I-\gamma I-\mu I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \frac{dR}{dt}=\gamma I-\mu R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)

De tre differentialekvationerna kan lösas i Excel

Ekvation (4), (5) och (6) kan beräknas i Excel men som alltid när man har att göra med differentilekvationer, är begynnelsevärdena kritiska för utfallet. För Covid-19 fanns data över graden av dödlighet från Wuhan och Italien (där ett tillgängligt värde i mars 2020 på graden av dödlighet var \mu=2,866523\ast{10}^{-5} ) och detta värde används i dessa beräkningar.

Värdena på Beta, Gamma samt antalet smittade (I) kommer ur gymnasiematematiken.

Ur beräkningarna (läs om hur beräkningar av differentialekvationer görs i Excel med hjälp av Eulers stegmetod) kan sedan plottas smittspridningen (I, infected) som funktion av dagar.

Plotten visar att baserat på det R-tal som gick att få fram ur gymnasiematematik, kommer ungefär 220 00 personer att smittas av Covid-19 inom en dryg månad.