Läroböcker i matematik behandlar ibland uppgifter med medelhastighet felaktigt som en storhet med en enhet, som exempelvis kronor och utför beräkningen på samma sätt som att en påläggsmoms på 25% motsvarar en avdragsmoms på 20%. Det vill säga ”momssatsomvandlingen” \frac{1}{0,8}=1,25 , antas även gälla för medelhastighet, vilket inte är korrekt eftersom medelhastighet är en sammansatt storhet som beror av både sträckan och tiden enligt v_m=\frac{s}{t}
Att behandla medelhastighet som en storhet ger oftast inte något stort fel men det innebär ett felaktigt resonemang, som dels gör elever med en lite bättre fysikalisk förståelse smått förvirrade men framfört allt så är det illa att det undervisas en felaktighet.
Exempel på felaktigt resonemang i en läroboksuppgift
Karro och Francis åker störtlopp i en skidbacke. Francis åker först. När Karro har kommit halvvägs får hon veta att hennes medelhastighet är 7% lägre än Francis medelhastighet på hela sträckan. Hur stor måste Karros medelhastighet vara under andra halvan av loppet om hon ska vinna över Francis.
Uppgiften är kategoriserad som begrepp, problemlösning och kommunikation.
Lärobokens lösning
Jämfört med Francis är Karros hastighets totala förändringsfaktor 0,93\ast x , där x förändringsfaktorn för nedre delen av backen. Produkten måste vara större än 1 för att Karro ska vinna, vilket innebär att x>\frac{1}{0,93}=1,07527
Karro måste alltså åka 7,53 % snabbare i nedre delen av backen enligt läroboken för att vinna.
Kontroll av lärobokens lösning
Genom att räkna med formeln s=v_mt och enkla siffror är det enkelt att se att lärobokens resonemang fallerar:
Låt sträckan vara s=100\ m och Francis medelhastighet v_m=10\ m/s vilket innebär att Francis åk mäter tiden v_m=10\ m/s
Om Karro åker halva sträckan (halvvägs, s=50\ m) ) med medelhastigheten v_m=0,93\ast10=9,3\ m/s, vilket för halva sträckan innebär tiden t_1=\frac{s}{v_m}=\frac{50\ m}{9,3\ m/s}\approx5,376\ s.
Karro ska sedan enligt läroboken komma i mål på samma tid som Francis om hon åker andra halvan med v_m=1,075\ast10=10,75\ m/s, vilket innebär att andra halvan åks på tiden t_2=\frac{s}{v_m}=\frac{50\ m}{10,75\ m/s}\approx4,651\ s.
Karros sammanlagda tid blir härmed t_1+t_2\approx5,376+4,651\approx10,027\ s>10,0\ s och Karro vinner inte över Francis, som läroboken anser att hon gör genom att åka 7,5 % snabbare i nedre delen av backen.
Korrekt lösning
En korrekt uträkning med generella termer t=\frac{s}{v_m} och att t_1+t_2 ska vara mindre än t, som innebär att Karros två halva sträckor tar mindre tid än Francis hela sträcka:
Karro måste alltså åka 8,2 % (och inte 7,5 %) snabbare i nedre delen av backen för att vinna över Francis!
Med ett v-t\ diagram och ett s-t\ diagram , samt genom att använda det mer exakta värdet x=1,081395 som ger samma tid mål för Karro och Francis, kan Karros åk visualiseras.
Ett extrapolerat s-t diagram, där skärningar med s-axeln utelämnats, visar att Francis och Karro kommer i mål samtidigt. Svart linje är Francis åk samt röd linje är Karros första halva och grön linje är Karros andra.