Om gravitationen är noll i centrum av en himlakropp, hur kan då gravitationen skapa det höga trycka som innebär att fusion (kärnsammansslagning) uppstår i solens kärna?

Beräkning av trycket inuti en himlakropp, som uppstår på grund av gravitationen

Trycket som uppstår på grund av gravitationen kan beräknas genom att integrera
trycket dP mellan himlakroppens centrum P_c och ytan vid 0: \ \ \int_{P_c}^{0}dP

Antag att en liten cylinder med längden dr och arean dA (topp och botten), befinner sig på avståndet r från himlakroppens centrum.

Volymen på cylindern erhålls härigenom av V=dr\ dA och om cylindern har densiteten \rho\left(r\right) blir cylinderns masselement (utifrån m=\rho V),\ \ \ \ dm=\rho\left(r\right)\ dr\ dA.

Newtons gravitationslag ger (utifrån vald integrationsriktning) gravitationen som verkar på cylindern enligt:

F_grav=-\frac{GM\left(r\right)dm}{r^2}=-\frac{GM\left(r\right)}{r^2}\rho\left(r\right)\ dr\ dA ,

Och eftersom tyngdaccelerationen är

g\left(r\right)=\frac{GM\left(r\right)}{r^2} , kan tyngdkraften skrivas på formen F_{grav}=-g\left(r\right)\ \rho\left(r\right)\ dr\ dA

Kraften som uppkommer på grund trycket på cylindern kommer att vara lika stort som gravitationen på cylindern F_{tryck}=F_{grav} .

Om trycket i botten av cylindern ges av P(r) och trycket i toppen av cylindern ges av P(r+dr), kommer trycket på cylindern dP att vara dP=P\left(r+dr\right)-P(r)

Trycket P=\frac{F}{A}\ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ F=PA , ger sedan att

F_{tryck}=\left(P\left(r+dr\right)-P\left(r\right)\right)\ dA=dPdA

F_{tryck}=F_{grav}\ \ \ \ \rightarrow

dPdA=-g\left(r\right)\ \rho\left(r\right)\ dr\ dA\ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \frac{dP}{dr}=-g\left(r\right)\ \rho\left(r\right)\ vilket även kan skrivas som

\frac{dP}{dr}=-\frac{GM\left(r\right)\rho\left(r\right)\ }{r^2}

Om vi räknar med himlakroppens medeldensitet \rho, i stället för att densiteten varierar med jordradien, blir \rho\left(r\right)=\rho

Himlakroppens massa kan härmed skrivas som M\left(r\right)=\rho\frac{4\pi r^3}{3}, vilket innebär att vi slutligen erhåller ekvationen

\frac{dP}{dr}=-G\rho\frac{4\pi r^3}{3}\frac{\rho}{r^2}=-\frac{4\pi}{3}G\rho^2r,

som ger integralen

\int_{P_c}^{0}dP=-\frac{4\pi}{3}G\rho^2\int_{0}^{R}rdr\ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \ \int_{0}^{P_c}dP=\frac{4\pi}{3}G\rho^2\int_{0}^{R}rdr ,

vilket innebär att trycket som funktion av radien blir:

P\left(R\right)=\frac{4\pi}{3}G\rho^2\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^R=\frac{2\pi}{3}G\rho^2R^2

Eftersom trycket är proportionellt mot radien i kvadrat och noll vid himlakroppens yta, kan trycket också beräknas som funktion av djupet under himlakroppens yta:

P(d)=\frac{2\pi}{3}G\rho^2d^2

För jorden med en medeldensitet på jordens \rho=5510\ kg/m^3 beräknas trycket som funktion av djupet till:

Inuti jordens kärna råder alltså ett tryck motsvarande 1,7 miljoner gånger högre än det atmosfäriska trycket vid jordytan.

Trycket inuti solens kärna beräknas på samma sätt men baserat på en medeldensitet på \rho=1410\ kg/m^3 :

Inuti solens kärna råder enligt dessa beräkningar ett tryck motsvarande 1,3 miljarder gånger högre än det atmosfäriska trycket vid jordytan.

Densiteten i solens kärna är dock avsevärt högre än medeldensiteten (densiteten ökar snabbt när trycket blir extremt stort) och uppskattas till \rho\approx150\ 000\ kg/m^3, vilket innebär att trycket i kärnan uppskattningsvis är:

P\approx2,65\ast{10}^{16}\ Pa=2,62\ast{10}^{11}\ atm

som är 262 miljarder gånger högre än det atmosfäriska trycket vid jordytan.