Den speciella relativitetsteorin innehåller de två lite svårförståeliga koncepten längdkontraktion och tidsdilation.  Min erfarenhet är att eleverna har svårare att förstå längdkontraktionen medan lärare däremot har lite svårt att förstå varför tidsdilationen uppstår. Del berör inte läroböckerna på gymnasieskolan själva orsaken till tidsdilationen och inte heller dagens lärarutbildningar tar upp detta. Men det beror även ofta på att relativitetsprincipen säger att rörelse i konstant hastighet inte går att skilja från vila, varför det är intuitivt svårt att acceptera att en klocka i konstant hastighet ska ticka i en annan takt än en klocka i ”vila”.

Det är intuitivt lättare att förstå att en klocka på en planet med större tyngdacceleration tickar saktare än en klocka på en mindre planet. Därav är det lätt att tänka sig att det är den kraftiga accelerationen upptill relativistiska hastigheter som orsakar den tidsdilation som sker i relativistiska hastigheter. Men detta är inte helt korrekt om än accelerationen förflyttar en resenär till ett annat inertialsystem. Tidsdilationen beror dock endast av att färdas i relativistiskt hastighet i detta nya ineritalsystem där klockan tickar saktare.

Som bevis på detta tar vi ett exempel med två planeter.

M_1=5,6\ast{10}^{24}\ kg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_2=10M_1=5,6\ast{10}^{25}\ kg r_1=6,0\ast{10}^6\ m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_2=3,1623r_1=3,1623\ast6,0\ast{10}^6\ m

Tyngdacceleration för en himlakropp erhålls av

g=\frac{GM}{r^2},

vilket innebär för de två planeterna:

g_1=\frac{GM_1}{r_1^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast5,6\ast{10}^{24}}{\left(6,0\ast{10}^6\right)^2}=10,382\ m/s^2 g_2=\frac{GM_2}{r_2^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast5,6\ast{10}^{25}}{\left(3,1623\ast6,0\ast{10}^6\right)^2}=10,382\ m/s^2

De två planeterna har samma tyngdacceleration varvid tidsdilationen borde vara samma om tidsdilationen beror av acceleration. Den allmänna relativitetsteorin säger att acceleration inte går att skilja från gravitation (tyngdacceleration).

Och i den allmänna relativitetsteorin ges tidsdilationen av:

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{2GM}{{rc}^2}}}\ \ \ \rightarrow\ \ \frac{t}{t_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{{rc}^2}}}\ \ \ \rightarrow\ \frac{t_0}{t}=\sqrt{1-\frac{2GM}{{rc}^2}}\ \

För de två planeterna blir denna kvot:

\frac{t_0}{t_1}=\sqrt{1-\frac{2GM_1}{{r_1c}^2}}=\ \sqrt{1-\frac{2\ast6,674\ast{10}^{-11}\ast5,6\ast{10}^{24}}{6,0\ast{10}^6\ast\left(3\ast{10}^8\right)^2}}=0,999\ 999\ 9993 \frac{t_0}{t_2}=\sqrt{1-\frac{2GM_2}{{r_2c}^2}}=\sqrt{1-\frac{2\ast6,674\ast{10}^{-11}\ast5,6\ast{10}^{25}}{3,1623\ast6,0\ast{10}^6\ast\left(3\ast{10}^8\right)^2}}=0,999\ 999\ 9978

Skillnaden är mycket liten men det finns en skillnad. På planeter med en tyngdacceleration i nivå med jordens är dock tidsdilationen väldigt liten, men solen med en tyngdacceleration på

g_s=\frac{GM_s}{{r_s}^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast1,989\ast{10}^{30}}{\left(6,96\ast{10}^8\right)^2}=274,03\ m/s^2

kan jämföras med stjärna som har påbörjat fasen till en röd jätte. För denna stjärna gäller

M_r=15M_s=15\ast1,989\ast{10}^{30}\ kg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_r=3,7830r_s=3,7830\ast6,96\ast{10}^8\ m,

vilket ger tyngdaccelerationen:

g_r=\frac{GM_r}{{r_r}^2}=\frac{6,674\ast{10}^{-11}\ast15\ast1,989\ast{10}^{30}}{\left(3,873\ast6,96\ast{10}^8\right)^2}=274,03\ m/s^2

För de två stjärnorna erhålls ”tidsdilationskvoten” till

\frac{t_0}{t_s}=\sqrt{1-\frac{2GM_s}{{r_sc}^2}}=\ \ \ \sqrt{1-\frac{2\ast6,674\ast{10}^{-11}\ast1,989\ast{10}^{30}}{6,96\ast{10}^8\ast\left(3\ast{10}^8\right)^2}}\ \ =0,999\ 997\ 8869 \frac{t_0}{t_r}=\sqrt{1-\frac{2GM_2}{{r_rc}^2}}=\sqrt{1-\frac{2\ast6,674\ast{10}^{-11}\ast15\ast1,989\ast{10}^{30}}{3,873\ast6,96\ast{10}^8\ast\left(3\ast{10}^8\right)^2}}=0,999\ 991\ 8159

Skillnaden för stjärnorna är något större än för planeterna men fortfarande relativt liten. Dock är det så att tidsdilationen på grund av gravitation inte blir påtaglig förrän extremt täta stjärnor som neutronstjärnor och dessa finns bara i en variant. Det vill säga att densiteten är samma för att neutronstjärnor eftersom alla består av neutroner tätt sammanpackade. Därav går de inte räkna på dem på samma sätt som räknats ovan, på planeter och stjärnor med olika densitet.

Formeln för tidsdilationen vid allmänna relativitetsteorin avslöjar vad tidsdilationen beror på.

Ur Newtons gravitationslag härleds tyngdaccelerationen g:

Denna term återfinns i formeln för tidsdilationen

varvid den kan ersättas med gr

Genom att använda den på gymnasiet välkända formeln

mgh=\frac{mv^2}{2}\ \ \ \rightarrow\ \ \ v^2=2gh,

tillsammans med att på himlakroppens yta är h=r erhålls

v^2=2gr,

där v är himlakroppens flykthastighet. Termen 2gr återfinns nu i tidsdilationen och ersätts denna fås

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

vilket är exakt samma formel som tidsdilationen i den speciella relativitetsteorin!

Därmed kan slutsatsen dras att tidsdilation är kopplad till hastighet i ett inertialsystem som färdas i relativistisk hastighet och inte till acceleration upptill denna hastighet.