Hubbleteleskopet färdas runt jorden i en stor sett cirkulär bara på en höjd av 610 km ovanför jordytan. Beräkna omloppstiden P.

Givet

h=610\ast{10}^3\ m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Höjd över jordytan

r=6378,16\ast{10}^3\ m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jordens ekvatorradie

G=6,674\ 08\ \ast{10}^{-11}\ Nm^2/kg^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Newtons gravitationskonstant

M=\ 5,97219\ast{10}^{24}\ kg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jordens massa

m=okänd \ men, \ m≪M \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m = Hubbles massa

Lösning 1 – Med Keplers tredje lag

Den generella formen av Keplers tredje lag ger att omloppstiden P är

P^2=\frac{4\pi^2}{G(m+M)}a^3 , där m≪M, \rightarrow P=\sqrt{\frac{4\pi^2}{GM}a^3}

Numeriskt blir omloppstiden, med a = r + h :

P=\sqrt{\frac{4\pi^2}{6,674\ 08\ \ast{10}^{-11}\ast5,97219\ast{10}^{24}}{(610\ast{10}^3+6378,16\ast{10}^3)}^3}=5813,82\ s=96,9\ \ minuter

Lösning 2 – Med Newtons gravitationslag

Eftersom teleskopet befinner sig i omloppsbana är centripetalkraften, orsakad av centripetalaccelerationen för teleskopets cirkelrörelse, lika stor som den gravitationella kraften.

F_{centripetal}=\frac{mv^2}{r} F=G\frac{mM}{r^2} F_{centripetal}=F\ \ \rightarrow\ \ \frac{mv^2}{r}=G\frac{mM}{r^2}\ \rightarrow\ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Omloppstiden fås sedan av, t=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}

Numeriskt blir omloppstiden härmed

t=\frac{2\pi{(610\ast{10}^3\ast6378,16\ast{10}^3)}^{3/2}}{\sqrt{6,674\ 08\ \ast{10}^{-11}\ast5,97219\ast{10}^{24}}}=5813,82\ s =96,9 minuter =1\ h\ 37 minuter

Båda lösningarna ger exakt samma resultat för omloppstiden.