De gymnasieelever som jag privatundervisade när Covid-19 bröt ut, fick när smittspridningen precis hade börjat att ta fart i Sverige (onsdagen den 5:e mars 2022) en uppgift där de skulle ta fram en graf och en till grafen tillhörande funktion som beskrev smittspridningen. Utifrån det resultat som eleverna kom fram till skulle de även göra en bedömning, kring huruvida de trodde att Sverige skulle kunna lyckas stoppa smittspridningen eller ej.
Resultatet
Fram till och med 24 februari hade det under ungefär en månads tid bara funnits en smittad person i Sverige, men denna vecka började smittspridningen ta fart och eleverna fick smittspridningsunderlag för tretton dagar. Dessa data infogade eleverna i Excel varvid en graf kunde tas fram och den funktion som bäst beskrev smittspridningen (genom att hitta en passande ”trendlinje” för grafen) var en exponentialfunktion.
En smittspridning som sker exponentiellt kan beskrivas som ”skenande” och smittspridningen under dag 12 och 13, skedde till och med snabbare än en exponentialfunktion. Eleverna drog slutsatsen att en allmän smittspridning av Covid-19 i Sverige inte skulle vara möjligt att förhindra. Samtidigt var riskbedömningen från Folkhälsomyndigheten (FMI) som gällde den 5:e mars: ”Risken att upptäcka nya fall i Sverige bedöms nu som mycket hög, och risken för allmän spridning i landet bedöms som måttlig” (Referens: Uppdaterad riskbedömning för covid-19 i Sverige).
Så frågan man kan ställa sig är varför inte Folkhälsomyndigheten (FMI) drog samma slutsats som eleverna förrän knappt två veckor senare, när det vara möjligt att med gymnasiematematik se en skenade smittspridning i landet? Bland annat genomfördes Melodifestivalen lördagen den 7:e mars, ett evenemang som ställdes in i Norge och Danmark trots liknande smittspridning i de länderna.
En anledning är nog att den 5:e mars hade smittspridningen endast ökat exponentiellt under två dagar, vilket antagligen var för få dagar och en för liten total smittspridning för att dra några säkra slutsatser kring en allmän smittspridning. Gymnasiematematiken uppvisade dock en början till den utveckling som redan skett i sydeuropeiska länder, varvid en allmän smittspridning i landet borde gått att förutse när väl smittan tog fart under dessa två dagar. Lägger man till data över smittspridningen för några ytterligare dagar fortsätter smittspridningen exponentiellt och ”tillväxten” börjar nu stabilisera sig, men smittan ökar fortfarande snabbare än en (skenande) exponentialfunktion.
Den 6:e mars skickar matematikprofessor Tom Britton sitt första mejl till Anders Tegnell där han varnar för att Covid-19 kommer att spridas i Sverige, en slutsats han drar efter liknande (än om lite mer sofistikerade) beräkningar som gymnasieeleverna gjort.
Den 10:e mars påtalar FHM att det finns flera tecken på en samhällsspridning av Covid-19 i Sverige.
Den 11:e mars deklarerar WHO att Covid-19 är en pandemi.
Men inte förrän den 17:e mars deklarerar FHM att en samhällsspridning pågår i Sverige.
Under mars kommer även Tom Britton med mycket alarmerande prognoser om att upptill halva Sveriges befolkning kommer att smittas av Covid-19 och 20 000 personer kan komma att avlida av viruset. Efter två år av pandemin hamnade Sverige nästan på 20 000 avlidna men hur många personer som egentligen har smittats av viruset finns en osäkerhet kring eftersom omfattande testning slutade ske.
Hur kunde Tom Britton komma med så träffsäkra prognoser så tidigt in i pandemin, samtidigt som FHM gjorde helt andra bedömningar. Data fanns från både Wuhan i Kina och Italien kring både hur smittsamt viruset var, hur smittspridningen skedde samt hur många procent av de som smittas av Covid-19 som avlider. För att bedöma hur många som kommer att smittas av viruset räcker dock inte gymnasiematematiken till eftersom med den exponentialfunktion som eleverna tog fick fram den 5:e mars (dag 13), kommer hela Sveriges befolkning att ha smittats av Covid-19 inom två månader.
Gymnasieelevernas exponentialfunktion beskriver bara smittspridningen med ett konstant värde 0,3404 på tillväxten, som i verkligheten kommer att förändras under pandemins gång. Hur smittspridning förändras bestäms av R-talet (reproduktionstalet), som talar om hur många personer en smittad person smittar och därigenom hur smittspridningen utbreder sig.
Exponentialfunktion tar inte heller någon hänsyn till att de som smittas, tillfrisknar efter ett visst antal dagar, γ och bidrar till den så kallade flockimmuniteten. I mars 2020 var kunskapen kring hur många dagar γ rörde sig om något osäker, men varierade mellan 7-14 dagar varvid här räknas med att γ = 10 dagar.
För att i detalj ta reda på hur smittspridning sker behövs universitetsmatematik (läs mer om, Hur beräknas smittspridningen av Corona/Covid-19 viruset).
Hur beräknas R-talet för en smittspridning?
Att beräkna eller uppskatta det ökända R-talet (reproduktionstalet), är en ganska komplicerad historia som är beroende av flera faktorer.
Men med gymnasiematematik är det dock möjligt att ta fram en skattning av reproduktionstalet, baserat på exponentialfunktionen från den 5:e Mars, eftersom R-talet kan definieras enligt:
R=\frac{\beta}{\gamma}Parametern \gamma är känd varvid R -talet erhålls om \beta (hur många personer som smittas per tidsenhet) kan tas fram. Smittspridningen kan beräknas med exponentialfunktionen
I=Ce^{\left(\gamma-\frac{\beta S}{N}\right)t}där vi bara behöver titta på uttrycket i exponenten och matcha detta med värdet på exponenten som gymnasieeleverna fick fram den 8:e mars: 0,3404 samt lösa ut \beta ur sambandet:
\gamma-\frac{\beta S}{N}=0,3404\ \ \ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \beta=\frac{N}{S}(\gamma-0,3404)\ \där N är den totala populationen (Sveriges befolkning) och S är antalet personer som är mottagliga för smittan. För Covid-19 ansågs initialt att barn och ungdomar inte smittades av viruset i någon högre omfattning, varvid ett startvärde kan sättas till S=6\ast{10}^6 (6 miljoner personer). Med \gamma=10 och =10\ast{10}^6 (totala populationen) erhålls:
\beta=\frac{10\ast{10}^6}{6\ast{10}^6}\left(10-0,3404\right)=16,10 personer smittas per tidsenhet.Eleverna besparades att räkna ut R-talet men den 8:e mars låg det på
R=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{16,1}{10}=1,61\ >\ \ 1\ \ \ \ \ \rightarrow Smittspridningen ökar tydligt.Om R > 1 ökar smittan och om R < 1 minskar den. I vilken takt smittan ökar eller minskar beror på hur långt från R = 1 som R-talet befinner sig.
Smittspridning av Covid-19 baserat på R-tal = 1,61
Baserat på R-talet 1,61 kan smittspridningen beräknas med ”universitetsmetoden” som beskrivs under Hur beräknas smittspridningen av Corona/Covid-19 viruset.
Detta R-tal som räknas fram ur en exponentialfunktion som erhålls med gymnasiematematik, redan efter två dagars ökande smittspridning alldeles i början av pandemin, stämmer väl överens med det verkliga R-talet under perioden. ”Sveriges R-tal var som högst i mars då det närmade sig 1,7” (Anders Tegnell, augusti 2020 i Dagens Industri).
Resultatet av en beräkning av smittspridningen baserat på detta R-tal är att istället för att hela Sveriges befolkning smittas inom två månader som exponentialfunktionen påtalade, kommer drygt 330 000 personer att smittas inom två månader.
